求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45 - MathWorks 中国 (2024)

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语法 说明 示例 具有一个解分量的 ODE 解算非刚性方程 向 ODE 函数传递额外的参数 求解具有多个初始条件的 ODE 带有时间依赖项的 ODE 计算和扩展解结构体 输入参数 输出参量 算法 参考 扩展功能 C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。 版本历史记录 另请参阅 主题 MATLAB 命令 Americas Europe Asia Pacific

求解非刚性微分方程 - 中阶方法

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语法

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

sol = ode45(___)

说明

示例

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)（其中 tspan = [t0 tf]）求微分方程组 y'=f(t,y) 从 t0 到 tf 的积分，初始条件为 y0。解数组 y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应。

所有 MATLAB® ODE 求解器都可以解算 y'=f(t,y) 形式的方程组，或涉及质量矩阵 M(t,y)y'=f(t,y) 的问题。求解器都使用类似的语法。ode23s 求解器只能解算质量矩阵为常量的问题。ode15s 和 ode23t 可以解算具有奇异质量矩阵的问题，称为微分代数方程 (DAE)。使用 odeset 的 Mass 选项指定质量矩阵。

ode45 是一个通用型 ODE 求解器，是您解算大多数问题时的首选。但是，对于刚性问题或需要较高准确性的问题，其他 ODE 求解器可能更适合。有关详细信息，请参阅选择 ODE 求解器。

示例

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 还使用由 options（使用 odeset 函数创建的参量）定义的积分设置。例如，使用 AbsTol 和 RelTol 选项指定绝对误差容限和相对误差容限，或者使用 Mass 选项提供质量矩阵。

[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 还求 (t,y) 的函数（称为事件函数）在何处为零。在输出中，te 是事件的时间，ye 是事件发生时的解，ie 是触发的事件的索引。

对于每个事件函数，应指定积分是否在零点处终止以及过零方向是否重要。为此，请将 'Events' 属性设置为函数（例如 myEventFcn 或 @myEventFcn），并创建一个对应的函数：[value,isterminal,direction] = myEventFcn(t,y)。有关详细信息，请参阅 ODE 事件位置。

示例

sol = ode45(___) 返回一个结构体，您可以将该结构体与 deval 结合使用来计算区间 [t0 tf] 中任意点位置的解。您可以使用上述语法中的任何输入参量组合。

示例

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具有一个解分量的 ODE

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在对求解器的调用中，可将只有一个解分量的简单 ODE 指定为匿名函数。该匿名函数必须同时接受两个输入 (t,y)，即使在该函数中一个输入未使用也是如此。

解算 ODE

y′=2t.

指定时间区间 [0 5] 和初始条件 y0 = 0。

tspan = [0 5];y0 = 0;[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);

对解绘图。

plot(t,y,'-o')

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (1)

解算非刚性方程

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van der Pol 方程为二阶 ODE

See Also
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y1′′-μ(1-y12)y1′+y1=0,

其中 μ>0 为标量参数。通过执行 y1′=y2 代换，将此方程重写为一阶 ODE 方程组。生成的一阶 ODE 方程组为

y1′=y2y2′=μ(1-y12)y2-y1.

函数文件 vdp1.m 代表使用 μ=1 的 van der Pol 方程。变量 y1 和 y2 是二元素向量 dydt 的项 y(1) 和 y(2)。

function dydt = vdp1(t,y)%VDP1 Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1%% See also ODE113, ODE23, ODE45.% Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

使用 ode45 函数、时间区间 [0 20] 和初始值 [2 0] 来解算该 ODE。生成的输出即为时间点 t 的列向量和解数组 y。y 中的每一行都与 t 的相应行中返回的时间相对应。y 的第一列与 y1 相对应，第二列与 y2 相对应。

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

绘制 y1 和 y2 的解对 t 的图。

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE45');xlabel('Time t');ylabel('Solution y');legend('y_1','y_2')

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (2)

向 ODE 函数传递额外的参数

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ode45 仅适用于使用两个输入参量（t 和 y）的函数。但是，通过在函数外部定义参数并在指定函数句柄时传递这些参数，可以传入额外参数。

解算 ODE

y′′=ABty.

将该方程重写为一阶方程组可以得到

y1′=y2y2′=ABty1.

此示例末尾包含的局部函数 odefcn 将此方程组表示为接受四个输入参量（t、y、A 和 B）的函数。

function dydt = odefcn(t,y,A,B) dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(2); dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);end

使用 ode45 解算 ODE。指定函数句柄，使其将 A 和 B 的预定义值传递给 odefcn。

A = 1;B = 2;tspan = [0 5];y0 = [0 0.01];[t,y] = ode45(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);

绘制结果。

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (3)

function dydt = odefcn(t,y,A,B) dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(2); dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);end

求解具有多个初始条件的 ODE

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对于只有一个方程的简单 ODE 方程组，可以将 y0 指定为一个包含多个初始条件的向量。此方法通过标量扩展创建一个由独立方程组成的方程组，每个初始值对应一个方程，ode45 求解该方程组以针对每个初始值生成结果。

创建一个匿名函数来表示方程 f(t,y)=-2y+2 cos(t) sin(2t)。该函数必须接受分别对应于 t 和 y 的两个输入。

yprime = @(t,y) -2*y + 2*cos(t).*sin(2*t);

创建一个由范围 [-5, 5] 内的不同初始条件组成的向量。

y0 = -5:5;

使用 ode45 计算方程在时间区间 [0,3] 内针对每个初始条件的解。

tspan = [0 3];[t,y] = ode45(yprime,tspan,y0);

绘制结果。

plot(t,y)grid onxlabel('t')ylabel('y')title('Solutions of y'' = -2y + 2 cos(t) sin(2t), y(0) = -5,-4,...,4,5','interpreter','latex')

此方法对于求解具有多个初始条件的简单 ODE 非常有用。然而，该方法也有一些折衷：

  • 您无法求解具有多个初始条件的方程组。该方法仅适用于求解一个具有多个初始条件的方程。

  • 求解器在每步选择的时间步基于方程组中需要采取最小步长的方程。这意味着求解器可以采取小步长来满足一个初始条件的方程，但其他方程如果单独求解的话将使用不同步长。尽管如此，同时针对多个初始条件进行求解通常比使用 for 循环分别求解方程更快。

有关此方法的详细信息，请参阅求解具有多个初始条件的 ODE 方程组。

带有时间依赖项的 ODE

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请考虑以下带有时间依赖参数的 ODE：

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (5)

初始条件为 求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (6)。函数 f(t) 由在时间 ft 时计算的 n×1 向量 f 定义。函数 g(t) 由在时间 gt 时计算的 m×1 向量 g 定义。

创建向量 f 和 g。

ft = linspace(0,5,25);f = ft.^2 - ft - 3;gt = linspace(1,6,25);g = 3*sin(gt-0.25);

编写名为 myode 的函数，该函数通过对 f 和 g 进行插值获取时间依赖项在指定时间的值。将函数保存到您当前的文件夹中，以运行示例的其余部分。

myode 函数接受额外的输入参量以计算每个时间步的 ODE，但 ode45 只使用前两个输入参量 t 和 y。

function dydt = myode(t,y,ft,f,gt,g)f = interp1(ft,f,t); % Interpolate the data set (ft,f) at time tg = interp1(gt,g,t); % Interpolate the data set (gt,g) at time tdydt = -f.*y + g; % Evaluate ODE at time t

使用 ode45 计算方程在时间区间 [1 5] 内的解。使用函数句柄指定函数，从而使 ode45 只使用 myode 的前两个输入参量。此外，使用 odeset 放宽误差阈值。

tspan = [1 5];ic = 1;opts = odeset('RelTol',1e-2,'AbsTol',1e-4);[t,y] = ode45(@(t,y) myode(t,y,ft,f,gt,g), tspan, ic, opts);

绘制解 y 对时间点 t 的函数图。

plot(t,y)

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (7)

计算和扩展解结构体

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van der Pol 方程为二阶 ODE

y1′′-μ(1-y12)y1′+y1=0.

使用 ode45 以及 μ=1 解算 van der Pol 方程。函数 vdp1.m 随 MATLAB® 一起提供，用于对方程进行编码。指定单个输出以返回包含解信息（如求解器和计算点）的结构体。 

tspan = [0 20];y0 = [2 0];sol = ode45(@vdp1,tspan,y0)
sol = struct with fields: solver: 'ode45' extdata: [1x1 struct] x: [0 1.0048e-04 6.0285e-04 0.0031 0.0157 0.0785 0.2844 0.5407 0.8788 1.4032 1.8905 2.3778 2.7795 3.1285 3.4093 3.6657 3.9275 4.2944 4.9013 5.3506 5.7998 6.2075 6.5387 6.7519 6.9652 7.2247 7.5719 8.1226 8.6122 9.1017 9.5054 ... ] (1x60 double) y: [2x60 double] stats: [1x1 struct] idata: [1x1 struct]

使用 linspace 在区间 [0 20] 内生成 250 个点。使用 deval 计算在这些点上的解。

x = linspace(0,20,250);y = deval(sol,x);

绘制解的第一个分量。

plot(x,y(1,:))

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (8)

使用 odextend 将解扩展到 tf=35，并将结果添加到原始图中。

sol_new = odextend(sol,@vdp1,35);x = linspace(20,35,350);y = deval(sol_new,x);hold onplot(x,y(1,:),'r')

求解非刚性微分方程 - 中阶方法 - MATLAB ode45- MathWorks 中国 (9)

输入参数

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输出参量

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算法

ode45 基于显式龙格-库塔 (4,5) 公式多曼-普林斯对。这是一种单步求解器 – 在计算 y(tn) 时，该求解器仅需要最靠近该时间点的前一时间点处的解 y(tn-1) [1], [2]。

参考

[1] Dormand, J. R. and P. J. Prince, “A family of embedded Runge-Kutta formulae,” J. Comp. Appl. Math., Vol. 6, 1980, pp. 19–26.

[2] Shampine, L. F. and M. W. Reichelt, “The MATLAB ODE Suite,” SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 18, 1997, pp. 1–22.

扩展功能

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

ode23 | ode78 | ode89 | ode113 | ode15s | odeset | odeget | deval | odextend

主题

  • 选择 ODE 求解器
  • ODE 选项摘要
  • 求解非刚性 ODE
  • 匿名函数
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Author:  Stevie Stamm 

    
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